质数。 质因数的数学运算
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1. 质数。 2.算术基本定理。 3. 合数。 4. 备注
1. 质数
- 素数是大于 1 的自然数，只能被 1 和自身整除。如果两个数相除时余数为零，则较大的数可以被较小的数整除。
- 任何“m”素数只有两个除数：数字本身，“m”和数字 1。
- 素数的例子：
- 1 不被认为是素数，因此最小的素数是 2（素数列表从数字 2 开始）。
- 2 只能被 2 和 1 整除，所以 2 是素数。
- 3 只能被 3 和 1 整除，所以 3 是素数。
- 5 只能被 5 和 1 整除，所以 5 是素数。
- 13 只能被 13 和 1 整除，所以 13 是质数。
2.算术基本定理
- 算术基本定理说，每个大于 1 的自然数都可以写成一个或多个素数的乘积，其方式是唯一的，除了素因数的顺序。
- 为什么1不被认为是质数？ 如果 1 被认为是一个素数，那么数字 15 的素数分解可以是： 15 = 3 × 5 或者 15 = 1 × 3 × 5. 这两个分解为素数会被认为是相同数字 15 的两种不同表示，因此基本定理的陈述将不再正确。
3. 合数
- 合数是一个自然数，它至少有一个除 1 以外的正除数和数字本身。
- 合数也是任何大于 1 且不是素数的数。
- 一个数的素数分解：找到相乘形成该数的素数。
- 合数的例子：
- 4 可以被 4、2 和 1 整除，所以 4 不是质数，而是合数。 数字 4 的素数分解为： 4 = 2 × 2 = 22
- 首先注意：4的素数分解的第二部分是用指数写的，它是第一部分的浓缩写法。
- 第二个注意事项： 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 我们说 2 的 3 次方。 在此示例中，3 是指数，2 是底数。 指数表示底数与自身相乘的次数。 23 是幂，8 是幂的值。
- 6 可以被 6、3、2 和 1 整除，所以 6 不是质数，而是合数。 数字 6 的素数分解是： 6 = 2 × 3
- 8 可以被 8、4、2 和 1 整除，所以 8 不是质数，而是合数。 数字 8 的素数分解是： 8 = 23
- 9 可以被 9、3 和 1 整除，所以 9 不是质数，而是合数。 其分解为素因数为： 9 = 32
4.关于素数的评论
- 最多为 100 的素数列表是： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- 素数是所有数字的基本组成部分，考虑到每个数字都可以写成一个或多个素数的乘积。 每个合数都可以写成至少两个素数的乘积。
- 欧几里得（公元前 300 年）证明，由于自然数的集合或整数的集合是无限的，所以素数的集合也是无限的，没有最大的素数。
- 没有已知的简单公式可以将所有素数与合数分开。