数的可除性， 计算器： 解释一个数是否能被另一个数整除。 这两个数相除是否无余数？ 比较它们的质因数分解

自然数的可分性：

方法 1：将数字相除并检查操作的余数。 如果余数为零，那么这些数字是可整除的。

方法2：将数分解为素因数。

• 1. 可分性：

• 一个自然数可以被另一个自然数整除，如果两个数相除后余数为零。
• 示例：让我们将两个不同的数字：12 和 15 除以 4。
• 当 12 除以 4 时，商为 3，余数为零。
• 但是当我们将 15 除以 4 时，商为 3，并且该操作的余数为 3。
• 我们说数字 12 可以被 4 整除，但 15 不能被 4 整除。
• 我们也说 4 是 12 的除数，但不是 15 的除数。

• 我们说数字“a”可以被“b”整除，如果有一个整数“n”，这样：
• a = n × b.
• 数字“b”被称为“a”的一个除数（“n”也是“a”的一个除数）。

• 2.一些除法规则：

• 0 可以被除自身以外的任何数整除。
• 1 是每个数的除数。
• 素数：只能被 1 和自身整除的数也称为素数。
• 互质数：如果两个数“m”和“n”的最大公约数，gcd (m; n) = 1 - 那么这意味着这两个数互质 - 换句话说，它们只有 1 作为除数 . 如果一个数“a”可以被这两个互质数“m”和“n”整除，那么“a”也可以被它们的乘积整除，(m × n)。
  • 示例：
  • 数字 84 可以被 4 和 3 整除，也可以被 4 × 3 = 12 整除。
  • 这是真的，因为两个除数 3 和 4 互质。

• 3. 计算所有除数：

• 在简化分数（将分数简化为最简单的等效分数）时，计算一个数的除数非常有用。
• 寻找除数的既定规则基于以下事实：数字以十进制表示：
• 10 的倍数可以被 2 和 5 整除，因为 10 可以被 2 和 5 整除
• 100 的倍数可以被 4 和 25 整除，因为 100 可以被 4 和 25 整除
• 1000 的倍数可以被 8 整除，因为 1000 可以被 8 整除。
• 10 的所有幂除以 3 或 9 时，余数等于 1。

• 由于余数运算规则，当数字除以 3 或 9 时，我们有以下余数：
• 600 的余数等于 6 = 1 × 6 （每 100 个 1 个）
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, 那么余数将等于 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• 当一个数字除以 3 或 9 时，余数等于通过将该数字的数字之和除以 3 或 9 得到的余数：
• 7309 的数字之和为：7 + 3 + 0 + 9 = 19。19 除以 3 或 9，余数不为零。 所以 7309 既不能被 3 也不能被 9 整除。

• 10 的所有偶数次方，例如：10² = 100, 10⁴ = 1,0000, 10⁶ = 100,0000 - 以此类推，除以 11 时，余数等于 1。
• 10 的所有奇次幂，例如 10¹ = 10, 10³ = 1000, 10⁵ = 10,0000, 10⁷ = 1000,0000 - 依此类推。 当所有这些数字除以 11 时，它们的余数等于 10。在这种情况下，所有这些数字的数字的交替总和除以数字 11，与这些数字除以 11 时的余数完全相同 .
• 如何计算数字的交替总和 - 它显示在下面的示例中。

• 例如，对于数字：8,5976：6 + 9 + 8 = 23、7 + 5 = 12，数字的交替总和：23 - 12 = 11。所以 8,5976 可以被 11 整除。

• 4.快速判断一个数是否能被另一个数整除的方法：

• 2，如果最后一位数字能被2整除。如果一个数的最后一位数字是0、2、4、6或8，则该数字能被2整除。例如数字20。0能被2整除， 所以 20 必须能被 2 整除（实际上：20 = 2 × 10）。
• 3，如果数的各位数之和能被3整除。比如数126：各位数之和为1+2+6=9，能被3整除。那么数126也一定是 可被 3 整除（实际上：126 = 3 × 42）。
• 4，如果数字的最后两位组成一个可以被4整除的数字。例如124：24可以被4整除（24 = 4 × 6），所以124也可以被4整除（ 确实：124 = 4 × 31）。
• 5，如果最后一位能被 5 整除（最后一位是 0 或 5）。 例如 100：最后一位数字 0 可以被 5 整除，那么数字 100 必须可以被 5 整除（实际上：100 = 5 × 20）。
• 6，如果数字可以被 2 和 3 整除。例如，数字 24 可以被 2 整除 (24 = 2 × 12) 并且也可以被 3 整除 (24 = 3 × 8)，那么它必须能被 6 整除。事实上，24 = 6 × 4.
• 7：一个数可以被 7 整除，如果该数的最后一位（个位），当被加倍，然后从由其余数字组成的数中减去，得到一个可以被 7 整除的数。 可以重复该过程，直到获得较小的数字。 例如，数字 294 能被 7 整除吗？ 我们应用算法： 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 可以被 7 整除。 21 = 7 × 3. 但是我们可以再次应用该算法，这次是在数字 21 上：2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0。零可以被 7 整除，所以 21 必须能被 7 整除 . 如果 21 能被 7 整除，那么 294 一定能被 7 整除。
• 8，如果数字的最后三位组成一个可以被 8 整除的数字。例如，数字 2120：120 可以被 8 整除，因为 120 = 8 × 15. 那么 2120 也必须能被 8 整除。证明：如果我们将这些数相除，则 2120 = 8 × 265.
• 9，如果数字的位数之和可以被9整除。例如，数字270的位数之和等于2 + 7 + 0 = 9，可以被9整除。这意味着270可以整除 由 9 证明：270 = 9 × 30.
• 10，如果数字的最后一位是 0。例如，140 可以被 10 整除，因为 140 = 10 × 14.
• 如果一个数字的数字的交替和可以被 11 整除，则该数字可以被 11 整除。例如，数字 2915 的数字交替和等于：(5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11. 这个数字可以被 11 整除。这意味着数字 2915 可以被 11 整除：2915 = 11 × 265.
• 25，如果数字的最后两位组成一个可以被25整除的数字。例如，由数字275的最后两位组成的数字是75，它可以被25整除，因为75 = 25 × 3. 那么 275 也必须能被 25 整除： 275 = 25 × 11.

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