素数和合数。 将合数分解为素数
- 一个数的素数分解：找到相乘形成该数的素数。
- 算术基本定理说每个大于 1 的整数都可以写成一个或多个素数的乘积，以一种唯一的方式（这些素数因子的顺序无关紧要）。
- 数字 1 不被认为是素数，因此最小的素数是 2。
- 如果数字 1 被认为是一个素数，那么数字 15 的素数分解可以写成： 15 = 3 × 5 或 15 = 1 × 3 × 5 - 这两种表示将被视为同一数字的不同素数分解，因此上述定理将不再有效。
- 仅能被 1 和自身整除的自然数称为素数。
- 素数示例：2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31 等。
- 如果一个数是素数，它不能分解为其他素数，它只能被 1 和它自己整除。
- 合数是一个自然数，它至少有一个除数以外的除数和数字本身。
- 合数也是任何大于 1 且不是素数的自然数。
- 合数的例子：4、 6、 8、 9、 10、 12、 14、 16、 18、 20、 21、 22、 24、 25、 26等。
- 质数不能分解为其他质因数，但复合数可以，如下所示：
- 示例 1：6 可以被 6、3、2 和 1 整除，所以 6 不是素数，而是合数。 6 可以用不同的方式写成因子的乘积，如： 6 = 1 × 6，或 6 = 1 × 2 × 3 或 6 = 2 × 3. 但无论因子的顺序如何，它的素数分解始终是：6 = 2 × 3.
- 示例 2：120 可以用不同的方式写成因子的乘积，如 120 = 4 × 30 或 120 = 2 × 2 × 2 × 15 或 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. 它的素数分解总是： 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - 最后一种写作形式是第一种形式的浓缩形式。
- 笔记： 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 我们说 2 的 3 次方。 在此示例中，3 是指数，2 是底数。 指数表示底数与自身相乘的次数。 23 是幂，8 是幂的值。
- 为什么了解数字的素因数分解很重要？
- 在计算数字的最大公约数 gcd 时，素数分解很有用。
- 当简化（减少）分数 - 整数的比率 - 到最简单的分数，最小的比率时，需要 gcd 。
- 在计算数字的最小公倍数 lcm 时，素数分解会派上用场。 例如，在添加或减去分数时需要 lcm。
- 示例可以继续：数字整除性，从素数分解开始计算数字的所有除数，等等。
- 更多质数的示例：
- 181 只能被 181 和 1 整除，所以 181 是质数。
- 2341 只能被 2341 和 1 整除，所以 2341 是质数。
- 6991 只能被 6991 和 1 整除，所以 6991 是质数。
- 这是从 1 到 100 的所有素数的列表： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- 在构建合数的素数分解时，素数用作基本块。 所以我们可以说素数确实是合数的基本块。