什么是质数？ 定义，例子。 算术基本定理。 前 200 个素数
1. 素数
- 大于 1 且只能被数字 1 和它们自身整除的自然数称为素数。
- 任何素数“m”只有两个因数， 即数字本身“m”和数字 1：
- m = 1 × m
- 素数的例子：
- 1 不被视为素数。
- 最小的素数是 2， 所以素数列表从数字 2 开始：
- 2 只能被 2 和 1 整除，所以 2 是素数。
- 3 只能被 3 和 1 整除，所以 3 是素数。
- 5 只能被 5 和 1 整除，所以 5 是素数。
- 7 只能被 7 和 1 整除，所以 7 是质数。
- 11 只能被 11 和 1 整除， 所以 11 是素数。
- ...
- 2是唯一一个是素数的偶数。 所有其他素数都是奇数。
2. 算术基本定理
- 一个数的素数分解： 找到相乘形成该数的素数。
- 算术基本定理说， 每个大于 1 的自然数都可以写成一个或多个素数的乘积， 其方式是唯一的， 除了素因数的顺序。
- 那么为什么数字 1 不被认为是质数呢？ 例如，如果 1 被认为是素数， 那么数字 6 的素数分解可以是： 6 = 2 × 3 或者 6 = 1 × 2 × 3. 这两个表示将被视为相同数字 6 的两个不同的素因数分解， 因此基本定理的陈述将不再正确。
3. 合数
- 合数是一个自然数， 它至少有一个除 1 以外的正除数和数字本身。
- 合数也是任何大于 1 且不是素数的数。
- 合数的例子：
- 4 可以被 4、 2 和 1 整除， 所以 4 不是质数， 而是合数。 其质因数分解为： 4 = 2 × 2 = 22
- 注 1： 4 的素数分解的第二部分是用指数写的， 它是第一部分的浓缩写法。
- 注 2： 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 我们说 2 的 3 次方。 在此示例中， 3 是指数， 2 是底数。 指数表示底数与自身相乘的次数。 23 是幂， 8 是幂的值。
- 6 可以被 6、 3、 2 和 1 整除， 所以 6 不是质数， 而是合数。 它的素数分解是： 6 = 2 × 3
- 8 可以被 8、 4、 2 和 1 整除， 所以 8 不是质数， 而是合数。 它的素数分解是： 8 = 2 × 2 × 2 = 23
- 9 可以被 9、 3 和 1 整除， 所以 9 不是质数， 而是合数。 它的素数分解： 9 = 32
- 10 可以被 10、 5、 2 和 1 整除， 所以 10 不是质数， 而是合数。 它的素数分解： 10 = 2 × 5
- 12 可以被 12、 4、 3、 2 和 1 整除，所以 12 不是质数， 而是合数。 它的素数分解是： 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 注意：
- 合数是所有大于 1 的非素数的自然数。
- 每个合数都可以写成至少两个素数的乘积。
- 我们可以说素数是所有合数的基本组成部分。
4. 质数， 最多 200：
- 如上所述， 第一个素数不是1， 而是2。 数字1不被认为是素数。
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
- 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
- 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
- 101, 103, 107, 109, 113, 127,
- 131, 137, 139, 149, 151, 157,
- 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
- 关于素数的最后说明：
- EUCLID （公元前 300 年） 证明， 由于自然数的集合是无限的， 所以素数的集合也是无限的， 没有最大的素数。
- 没有已知的简单公式可以将所有素数与合数分开。
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