- 完全简化的分数，简化为最简单等效分数的分数是不能再简化的分数，它已简化为最简单的形式 - 分子和分母可能最小的形式 - 彼此互为质数的数字。
- 1) 将分数的分子和分母分解为质因数。 如何将合数分解为素数，这里： ⇒ 数的素数分解
- 2) 计算分数的分子和分母的最大公约数gcd。 如何计算最大公约数，gcd，在这里： ⇒ 计算两个数的最大公约数 gcd
- 3) 将分数的分子和分母除以它们的最大公约数 gcd。
- 这样简化的分数称为简化为最简单等价形式的分数。 化简为最简分数的分数不能再化简，称为不可约分数。不可约分数的分子和分母的最大公约数等于1。
分数的类型——整数的比率
- 真分数 - 是分母大于分子的分数。 示例： 1/3, 2/6, 24/32
- 假分数 - 分母等于或小于分子的分数。 例子： 3/2, 2/2, 36/34, 6/3.
- 假分数有两种情况：
- 分子是分母的倍数的假分数。 这种类型的分数可以减少（简化）为整数。 例子： 2/2 = 1, 6/3 = (6 ÷ 3)/(3 ÷ 3) = 2/1 = 2.
- 分子不是分母的倍数的假分数——这种分数可以表示为整数和真分数之和。
- Examples:
- 3/2 = (2 + 1)/2 = 2/2 + 1/2 = 1 + 1/2 = 1 1/2
- 36/34 = (36 ÷ 2)/(34 ÷ 2) = 18/17 = (17 + 1)/17 = 17/17 + 1/17 = 1 + 1/17 = 1 1/17
示例 1：将真分数 24/32 化简为最简单的等价形式 - 分子和分母最小的形式。
1) 将分数的分子和分母分解为质因数。
- 分数的分子是 24，它的质因数分解是：
24 = 23 × 3. - 分数的分母是 32，它的素数分解是： 32 = 25.
2) 计算分数的分子和分母的最大公约数gcd。
- 最大公约数 gcd (24; 32) 是通过将分子和分母的所有公质因数乘以它们的最低指数来计算的：
- gcd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
3) 将分数的分子和分母除以它们的最大公约数 gcd。
- 我们分数的分子和分母都除以它们的最大公约数 gcd：
- 24/32 =
(24 ÷ 8)/(32 ÷ 8) =
(23 × 3 ÷ 23)/(25 ÷ 23) =
3/4 - 这样简化的分数称为简化为最简单形式的分数。 这也是一个不可约分数 （它不能再减少了， 它有最小的分子和分母）。
示例 2： 将真分数 130/455 化简为最简单的等价形式 - 分子和分母最小的形式。
1) 将分数的分子和分母分解为质因数。
- 分数的分子是 130，它的质因数分解是：
130 = 2 × 5 × 13. - 分数的分母是 455，它的素数分解是：
455 = 5 × 7 × 13. 2) 计算分数的分子和分母的最大公约数gcd。
- 最大公约数 gcd (130; 455) 是通过将分子和分母的所有公质因数乘以它们的最低指数来计算的：
- gcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.
3) 将分数的分子和分母除以它们的最大公约数 gcd。
- 我们分数的分子和分母都除以它们的最大公约数 gcd：
- 130/455 =
(2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) =
2/7 - 这样简化的分数称为简化为最简单形式的分数。 这也是一个不可约分数（它不能再减少了，它有最小的分子和分母）。
示例 3： 将真分数 315/1155 化简为最简单的等价形式 - 分子和分母最小的形式。
1) 将分数的分子和分母分解为质因数。
- 分数的分子是 315，它的质因数分解是：
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - 分数的分母是 1155，它的素数分解是：
1155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) 计算分数的分子和分母的最大公约数gcd。
- 最大公约数 gcd (315; 1155) 是通过将分子和分母的所有公质因数乘以它们的最低指数来计算的：
- gcd (315; 1155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) 将分数的分子和分母除以它们的最大公约数 gcd。
- 我们分数的分子和分母都除以它们的最大公约数 gcd：
- 315/1155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) ÷ (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) ÷ (3 × 5 × 7)) =
3/11 - 这样简化的分数称为简化为最简单形式的分数。 这也是一个不可约分数 （它不能再减少了，它有最小的分子和分母）。
例 4：将假分数 455/130 化简为最简单的等价形式 - 分子和分母最小的形式。
1) 将分数的分子和分母分解为质因数。
- 分数的分子是 455，它的质因数分解是：
455 = 5 × 7 × 13 - 分数的分母是 130，它的素数分解是：
130 = 2 × 5 × 13 2) 计算分数的分子和分母的最大公约数gcd。
- 最大公约数 gcd (455; 130) 是通过将分子和分母的所有公质因数乘以它们的最低指数来计算的：
- gcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
3) 将分数的分子和分母除以它们的最大公约数 gcd。
- 我们分数的分子和分母都除以它们的最大公约数 gcd：
- 455/130 =
(5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) =
7/2 - 这样简化的分数称为简化为最简单形式的分数。 这也是一个不可约分数（它不能再减少了，它有最小的分子和分母）。
- 但还有更多：这种类型的任何假分数都可以写成整数和真分数的和。
- In our case:
- 7/2 =
(2 × 3 + 1)/2 =
(2 × 3)/2 + 1/2 =
3/1 + 1/2 =
3 + 1/2 =
3 1/2 - 3 1/2 称为混合数。
为什么将分数简化为最简单的等价形式？
- 在对分数进行运算时，我们通常需要使它们具有相同的分母，例如在加法、减法或比较时。
- 有时，这些分数的分子和分母都是大数，用这些数字进行计算可能很困难。
- 通过简化（减少）分数，分数的分子和分母都被减少到更小的值，更容易使用，这样就减少了整体工作量。